De hoek van de uitvallende straal door een lens

Om mijn hersenen wat te oefenen heb ik eens uitgerekend hoe je een willekeurige straal door een lens kunt berekenen. Nu ben ik nogal slordig met wiskundige afleidingen. Het heeft mij dus meer tijd gekost dan eigenlijk nodig. Hier is het resultaat. 

Voor het berekenen van lichtstralen door een lens hebben we slechts twee regels nodig.

1. Elke straal door het centrum O van de lens wordt niet afgebogen, maar gaat rechtdoor.
2. Elke straal loodrecht op de lens gaat door het brandpunt.

Om elke andere straal te kunnen berekenen, kunnen we met deze regels voor één punt op de straal het beeldpunt achter de lens berekenen. De straal vanaf het raakpunt van deze straal op de lens X naar het beeldpunt Q is de uitgaande straal, zie onderstaand figuur. 

De hoek van de uitgaande straal is een functie van de hoek van de ingaande straal a, het brandpunt f, en het raakpunt op de lens x₁ rechts van het centrum van de lens gaat met een hulpvariabele x₂, de y-coördinaat van het hulppunt P. De hoek φ is te berekenen door de combinatie van vier vergelijkingen. We rekenen de hoeken vanaf de x-as. 

Natuurlijk is de hoek φ niet afhankelijk van de coördinaten van het hulppunt P, _.Het punt P mag overal op de lijn L staan. Rekenen we met de invallende en uitvallende hoek vanaf de y-as in plaats van de x-as dan moeten we in deze formule in plaats van a 90-a schrijven en voor φ 90- φ.