Harmonische intervallen

Hier heb ik opgeschreven wat ik begrijp van reine intervallen in de muziek.
Het bevat niets, wat niet iedere muziekstudent en muzikant al weet of zou moeten weten. Alleen de wiskundige beschrijving van golven is eerder elementaire kennis van wiskundigen.
Het zijn mijn persoonlijke aantekeningen, zo eenvoudig opgeschreven dat ik het zelf snap.

Boventoonreeks en reine intervallen

In de muziek worden de harmonische intervallen bepaald door eenvoudige trillingsverhoudingen op basis van de boventoonreeks van een snaar of trillende lucht in een buis van een blaasinstrument. Boven de grondtoon horen we tonen van 2, 3, 4, 5, 6 en meer keren de frequentie van die grondtoon. Als we een trompet overblazen, dan horen we na de lage grondtoon, daarna een twee keer zo hoge en dan een 3 keer zo hoge toon en wie goed kan blazen, kan nog veel verder komen.

De intervallen tussen de eerste grondtonen ervaren wij als bijzonder harmonisch: tussen 1 en 2 het octaaf, tussen 2 en 3 de kwint, tussen 3 en 4 de kwart en tussen 4 en 5 de grote terts. Minder harmonisch klinkt het interval tussen de 9 en 8e grondtoon in onze oren. Dit is de grote secunde.

Toonladder op basis van reine intervallen

grote tertstoonladder

Op basis van deze reine intervallen is de grotetertstoonladder te construeren. Bijvoorbeeld F-groot. Bovenstaande intervallen leveren de lage en de hoge F (octaaf 2/1), de C (kwint 3/2), de Bes (kwart 4/3), de A (grote terts 5/4) en de G (grote secunde 9/8) op. De grote sext D kunnen we eenvoudig construeren als een kwart + een grote terts: 4/3*5/4=5/3. Het grote septiem eenvoudig als een kwint + grote terts: 3/2*5/4=15/8 boven de grondtoon. De kleine terts is natuurlijk een kwint MINUS een grote terts oftewel 3/2*4/5=6/5.

Voor de grote secunde is er nog een andere oplossing. Als we de grote terts in tweeën delen hebben we twee intervallen: 9/8 * 10/9 = 5/4. 10/9 is dus een andere mogelijkheid. Ze worden de pythagoreïsche grote en kleine hele toon genoemd. Het verschil is 1,25%, ook wel de didymische komma genoemd.

Kleine tertstoonladder

Een kleine tertstoonladder is op twee manieren te construeren, op basis van de grote tertstoonladder met dezelfde voortekens (d-klein op basis van F-groot) of op basis van de grote tertstoonladder die met dezelfde noot begint (d-klein op basis van D-groot). Het maakt alleen iets uit voor de kwart in de toonladder.

Op basis van de grote tertstoonladder met dezelfde voortekens

Een voor de hand liggende manier is om de noten van d-klein dezelfde hoogte te geven als in F-groot. Bijzonder aan deze oplossing is dat de kwart niet meer rein is. De kwart – de G – is in F-groot de grote secunde boven F. In de kleine toonladder is de F een kleine terts (6/5)  boven de d. De G is een secunde hierboven 9/8*6/5 = 27/20 (1,35). Deze kwart is beduidend groter (1,25%) dan de reine kwart 4/3 (1,33).

Op basis van de grote tertstoonladder met dezelfde grondtoon

Een tweede manier is de kwart over te nemen van de de grote tertstoonladder met dezelfde begintoon (D-groot). Dan is de kwart weer rein.

 

F-groot interval vanaf
grondtoon
d-klein interval vanaf
grondtoon
F 1 D 1
G 9/8 E 9/8
A 5/4 F 6/5
Bes 4/3 G 27/20 of 4/3
C 3/2 A 3/2
D 5/3 Bes 8/5
E 15/8 C 9/5
F 2 D 2

 

 

Het problematische strijkinstrument

De meeste strijkinstrumenten zijn in reine kwinten gestemd: C-G-D-A of G-D-A-E. Noten, die ik rein afstem met de lage snaren, klinken niet meer rein met de hoge snaren. Als ik een G op de E-snaar van een viool speel, dan is de G 6/5*de E. De E is drie kwinten boven de G, 3/2*3/2*3/2*G = 27/8*G. Stem ik hierop een reine kleine terts, dan krijg ik een G = 27/8*6/5G = 4,05 = 162/40 * G = 4,05 G. Hij moet 4 * de G zijn. Hij is dus te hoog. Om hem weer zuiver te krijgen met de losse G-snaar, zal ik de G-snaar iets hoger moeten stemmen.

Nog problematischer wordt het als ik met de laagste snaar van de cello samenspeel. Stel dat ik een hoge B speel op de E-snaar van de viool, een kwint boven de E. Dat is dus 5 kwinten boven de losse C van de cello oftewel 243/32  boven de lage C.  Als ik een D op de C-snaar van de cello speel, is die 9/8 * C. Als ik die 4 octaven hoger speel is die 18 * C. Het interval (B op viool, D op cello) wordt nu (243/32)/9 = 0,84. Een reine kleine terts is 5/6=0,8333. De D op de cello is te laag (of de B of de viool is te hoog), maar dat is geen verrassing.

De kwintencirkel is een spiraal

Het probleem van de moeilijke stemming tussen lage en hoge snaren wordt heel goed zichtbaar als je de kwintencirkel doorloopt, steeds een kwint hoger vanaf C totdat je na 12 kwinten bij Bis komt. Een Bis is alleen bij een gelijkzwevende stemming gelijk aan een C. Op basis van reine kwinten is de Bis 129,75 keer zo hoog als het begin van de kwintencirkel (3/2 tot de macht 12). Dit zou 128 moeten zijn (2 tot de macht 7).  Na het doorlopen van de kwintencirkel is de C/Bis 1,36% te hoog geworden.

Kleine kwinten voor mooie tertsen

Als je de kwintencirkel doorloopt kom je bij de derde en vierde kwint een terts tegen, bijv. G D A E B. De E ligt een kleine terts onder de G (twee octaven hoger) en de B (twee octaven lager) ligt een grote terts boven de G. Helaas kloppen de reine kwinten (3/2) niet met de reine tertsen (5/4 en 6/5). Er zijn twee manieren om dit op te lossen, óf, zoals bij een middentoonstemming de kwinten verkleinen (voor een rein E-G interval naar 1,494, of voor een rein G-B interval naar 1,495), óf bij een gelijkzwevende stemming accepteren dat alle tertsen vals klinken.

Middentoonstemming: mooie grote tertsen

Er zijn veel middentoonstemmingen. Ik geef hier de bekendste (1/4 komma middentoonstemming). Het probleem van gestapelde kwinten is niet alleen dat ze tenslotte valse (te hoge) octaven opleveren, ook dat de uit de stapeling van vier kwinten resulterende grote terts te hoog is. Bij reine kwinten is die terts (3/2)macht 4 * 1/4 = 81/64. Iets te hoog dus, want had 5/4 oftewel 80/64 moeten zijn. Het probleem wordt opgelost door de kwinten te verkleinen totdat de terts weer rein is. De kwint wordt de vierde machtswortel uit 5 = 1,49535… Dit is een verkleining met een 1/4 van de didymische komma (zie boven). Hij is nog kleiner dan de kwint in gelijkzwevende stemming, zie hieronder. De grote secunde in deze stemming ligt precies tussen de grondtoon en de reine grote terts in, dus niet 9/8 of 10/9 maar de wortel uit 5/4. Met die lage kwint bereiken we na 12 kwinten de hoge c niet,  maar een beduidend lagere noot. Dit is alleen op te lossen door de twaalfde kwint veel groter te maken dan de 11 kwinten daarvoor. Hij wordt 1,531…, een heel valse kwint, de zogenaamde wolfskwint. Mooie tertsen in de grondtoonladder hebben dus hun prijs: niet alleen een vieze wolfskwint. In andere toonladders dan de grondtoonladder klinkt dit een instrument in middentoonstemming niet goed. Hier een voorbeeld van een instrument gestemd in D-groot. In D-groot zijn de grote tertsen volledig rein en de kleine tertsen ook zo goed als rein. De kwinten zijn aan de kleine kant. Als ik nu F-groot op dit instrument ga spelen, zijn niet alle tertsen rein meer: de grote terts G-G wordt veel te groot en de kleine tertsen worden te klein. Minder leuk wordt het in c-klein, wanneer alle grote tertsen te groot worden en de kleine te klein. Een klavecimbel zou je dan even anders moeten stemmen. Bij een orgel ligt dat wat moeilijker.

 

Gelijkzwevende stemming: alle intervallen vals

Aan bovenstaand voorbeeld en de toelichting over de kwintencirkel en middentoonstemming is al te zien, dat je vaak beslissingen zal moeten nemen over welke intervallen je rein wilt maken en welke niet. Het systeem van reine intervallen valt al snel in duigen als je allerlei toonaarden door elkaar gaat spelen. Een radicale oplossing is alle intervallen tussen de 12 halve noten van het octaaf gelijk te houden. Dan zijn alle intervallen vals. Sommige zweven nog harder dan andere. Met name de tertsen en de secunden klinken afschuwelijk, maar ook de kwinten zijn iets te klein. Dit is het geval op elke gelijkzwevend gestemde piano.

 

Som- en verschilfrequentie – een wiskundig uitstapje

Een regelmatige eenvoudige geluidsgolf (of elke andere golf in de fysica) is als een eenvoudige sinusfunctie te beschrijven:

waarin y de uitslag, A de amplitude en f de frequentie.

Sommeer je nu twee golven met dezelfde amplitude en verschillende frequenties, dan is de som van de twee sinussen te schrijven als een product van een sinus en cosinus (zie hier de afleiding van de formule):

Het cosinusgedeelte geeft de langzame zweving, de verandering van amplitude van de snelle golf (het sinusgedeelte), aan. Deze ‘golf om de golf’ heeft een frequentie van het verschil van de twee frequenties (niet het halve verschil, omdat het niet uitmaakt of het cosinusdeel positief of negatief is). Als je bijvoorbeeld een twee tonen met een interval van een grote terts samen speelt, dan is het verschil van 5/4 – 1 = 1/4 . Dit is dus twee octaven onder de lage noot.

In bovenstaande figuur is de blauwe de lage toon en de rode een grote terts daarboven. Terwijl de blauwe 4 keer trilt, doet de rode dat vijf keer. De groene curve is de somcurve. Deze heeft één periode terwijl de blauwe er vier heeft: dus twee octaven onder de lage noot van de grote terts.  Dit is dus het cosinusgedeelte van bovenstaande vergelijking. Frequentie f1-f2. De groene somcurve snijdt tijdens één periode negen keer de x-as, dus 4½ complete periodes, precies het gemiddelde van de twee noten: het sinusgedeelte van bovenstaande formule: ( f1+f2)/2.

Verschiltonen van verschillende intervallen

Naarmate de twee tonen van een interval dichter bij elkaar liggen is vanzelfsprekend de verschiltoon lager. Bij kleine intervallen tussen hoge noten zijn ze goed te horen.  Hier heb ik het voor verschillende intervallen uitgerekend. Bij een kwint hoor je de grondtoon een octaaf lager. Bij een kwart hoor je een toon twee octaven onder de bovenste noot. Een grote terts levert weer de grondtoon twee octaven lager op, etc.