Het verdwijnpunt van een lijn in een willekeurige richting
Als we ervan uitgaan dat we in de richting Y fotograferen, dan wordt alles steeds kleiner naarmate y groter wordt. Stel we hebben een verzameling evenwijdige lijnen met de richtingen θ en φ. Al die lijnen komen samen op hetzelfde verdwijnpunt in de tweedimensionale projectie.
Stel dat we een lijn recht naar voren hebben, bijvoorbeeld een lijn vanaf [x, y, z] = [0,0,0] naar [0,1,0]. In bolcoördinaten wordt het eindpunt van die lijn aangegeven met [r, θ , φ ] = [1, 90, 90].
Voor elke willekeurige θ en φ kan ik voor r = 1 de x, y en z berekenen uit de bekende formules voor bolcoördinaten naar cartesisch.
Stel dat de te fotograferen lijn niet in [0,0,0] begint maar in [x0, y0, z0], dan ligt een willekeurig punt op de lijn op [x0+x, y0+y, z0+z]. Het punt op de projectie vind ik door deling door de totale afstand y.
Hiermee hebben we de horizontale en de verticale coördinaat van het verdwijnpunt op de sensor berekend.
Ik geef hier vier voorbeelden van dit verdwijnpunt.
Lijnen zonder verdwijnpunt
De lijnen die in het vlak loodrecht op de kijkrichting lopen (hier in het x,z-vlak) hebben natuurlijk geen verdwijnpunt. De lijnen lopen niet naar een verder punt en zijn dus ‘perspectiefloos’. Het zijn alle lijnen met φ = 0 en willekeurige waarden voor θ. Voor de berekening van de coördinaten van de verdwijnpunten deel ik steeds door sin(φ), dus door 0. Beide coördinaten komen dus op oneindig uit (met andere woorden: er is geen verdwijnpunt), wat te verwachten is.
N.B.
Op deze manier berekenen we de relatieve posities van de verdwijnpunten op de sensor. Er moet afhankelijk van de grootte van de sensor in verhouding tot de brandpuntsafstand nog een vaste factor aan toegevoegd worden, maar die is voor dit verhaal niet van wezenlijk belang. Natuurlijk kunnen de verdwijnpunten ook ver buiten de sensor vallen.
N.B. 2
Op een andere pagina van deze site ben ik ervan uitgegaan dat we in de richting z fotograferen en niet in de richting y. Dat geeft kleine veranderingen in de formules.
